Une famille d'entiers divisibles par 3 - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Montrer que \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .

Solution

On raisonne par disjonction de cas. Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

• Si \(n=3k\) avec \(k \in \mathbb{N}\) , on a alors : 
  \(\begin{align*}n(n+5)(n+7)& =3k(3k+5)(3k+7)\\& =3k(3k+5)(3k+7)\\& =3k'\end{align*}\)   
  avec \(k'=k(3k+5)(3k+7) \in \mathbb{Z}\) ,
  et donc \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .
  
• Si \(n=3k+1\) avec \(k \in \mathbb{N}\) , on a alors :
    \(\begin{align*}n(n+5)(n+7)& =(3k+1)(3k+1+5)(3k+1+7)\\& =(3k+1)(3k+6)(3k+8)\\& =3(3k+1)(k+2)(3k+8)\\& =3k'\end{align*}\)   
  avec \(k'=(3k+1)(k+2)(3k+8) \in \mathbb{Z}\) ,
  et donc \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .
  
• Si \(n=3k+2\) avec \(k \in \mathbb{N}\) , on a alors : 
    \(\begin{align*}n(n+5)(n+7)& =(3k+2)(3k+2+5)(3k+2+7)\\& =(3k+2)(3k+7)(3k+9)\\& =3(3k+2)(3k+7)(k+3)\\& =3k'\end{align*}\)   
  avec \(k'=(3k+2)(3k+7)(k+3) \in \mathbb{Z}\) ,
  et donc \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .